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• 大学入試数学過去問 - 97s6

  https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/40.html

  aを実数とする． (1) 曲線と放物線の両方に接する直線がx軸以外に2本あるようなaの範囲を求めよ． (2) aが(1)の範囲にあるとき，この2本の接線と放物線で囲まれた部分の面積Sをaを用いて表せ． (1) の接点のx座標をtとおくと，接線の方程式は． これとを連立させて． ． これが重解を持つ条件は ． 所与の2曲線はx軸以外に2本の共通接線をもつので，これはt=0以外の相異なる実数解をもつ． t=0でない解はであるから，,． (2) 放物線の接点のx座標をsとおくと，接線の傾きを考えて. よって放物線の2接点のx座標をp,q(p q)とおくと. また，放物線の式から接線の式を引くと,となるので，求める面積は .

• 大学入試数学過去問 - 08s1

  https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/32.html

  座標平面の点(x,y)を(3x+y,-2x)へ移す移動fを考え、点Pの移る行き先をf(P)と表す。fを用いて直線，，，･･･ を以下のように定める。 は直線3x+2y=1である。 点Pが上を動くとき、f(P)が描く直線をとする(n=0,1,2,…)。 以下を1次式を用いてと表す。 (1) ，を，で表せ。 (2) 不等式が定める領域をとする。，，，･･･ すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ。 (1) はとも表せるので，と係数を比較して つまり，. (2) y=-2x上の点はfによって移動しない．この直線ととの交点(-1,2)は不動点なので全てのnに対し上にある． ここで，(1)より．,なので 従って直線の傾きは となる． これよりであるから，求める領域は3x+2y 1かつx+y≧1．

• 大学入試数学過去問 - k93ks4

  https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/176.html

  aは正の定数とする．不等式がすべての正の数xについて成り立つという．このときaはどのようなものか． とおくとf(1)=0である． f(x)≧0よりf(1)は極小値でなければならない． これより． 従ってa=e．

• 大学入試数学過去問 - k93ks2

  https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/170.html

  実数aに対して，とおく． (1)tを実数とする．方程式f(x)=tが相異なる3個の実数解を持つために，aとtが満たすべき条件を求めよ． (2)g(x)=f(f(x))とおく．方程式g(x)=0が相異なる9個の実数解を持つようなaの範囲を求めよ． (1) a≦0のとき，f(x)は単調関数なのでf(x)=tの実数解はtによらず高々1つ． 以下，a 0とする． より，f(x)はで極値をとる． tがこの間にあることが求める条件なので． (2) a≦0のとき，f(x)=tの解はx=0のみなのでg(x)=0の解もx=0のみとなり不適． 以下，a 0とする． f(x)=0の解はx=0，であるから， g(x)=0の解はf(x)=0，の解を合わせたもの． ここで，f(x)=aとf(x)=b (a≠b)の解が一致することはありえないので， 求める条件はの解がそれぞれ相異なる3個の実数解を持つこと． それは(1)の結果よりなので求める範囲は．

• 大学入試数学過去問 - 93s1

  https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/51.html

  すべての面が合同な四面体ABCDがある．頂点A,B,Cはそれぞれx,y,z軸上の正の部分にあり，辺の長さはAB=2l-1,BC=2l,CA=2l+1 (l 2)である．四面体ABCDの体積をV(l)とするとき，次の極限値を求めよ． 各面の対角線の長さがそれぞれ2l-1,2l,2l+1となるような直方体を考えると，直方体の頂点のうち4点とABCDが重なる． 直方体の三辺の長さをa,b,cとしてであるとすると． よって ．

• 大学入試数学過去問 - 08s3

  https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/56.html

  (1) 正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。この八面体を真上から見た図(平面図)を描け。 (2) 正八面体の互いに平行な2つの面をとり、それぞれの面の重心を，とする。，を通る直線を軸としてこの八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、八面体は内部を含むものとし、各辺の長さは1とする。 (1) 下の面の任意の2頂点の垂直二等分面に対して，この八面体は対称であり，とくに上の面も対称であることから，真上から見た場合， 上の面と下の面の中心は重なって見え，向きは同じ向きかπずれているかのいずれかであるが，明らかに同じ向きではない．頂点同士を結んで平面図を得る． (2) に垂直な面で切ると六角形が得られ，この六角形の中心Oからの距離が最大の点のうち一つをPとおくと，Pはこの六角形の頂点，すなわち，八面体の辺上の点である． への八面体の上面にも下面にも含まれない辺の射影は正六角形となる．この正六角形の辺のうちPのある辺へOから下ろした垂線の足をHとすると，． この正六角形の一辺の長さはであるから，八面体の上面にも下面にも含まれない辺のへの射影の長さは． の中点をMとおく．MO=xとしてHP=kxとかけるが，Pが上の面の頂点に一致するときを考えて． 従って求める体積は ．

• 大学入試数学過去問 - まとめサイト作成支援ツール

  https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/5.html

  まとめサイト作成支援ツールについて @wikiにはまとめサイト作成を支援するツールがあります。 また、 #matome_list と入力することで、注目の掲示板が一覧表示されます。 利用例）#matome_listと入力すると下記のように表示されます #matome_list

• 大学入試数学過去問 - k90s1

  https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/122.html

  2つの曲線，が1点Pを通り，Pにおいて共通の接線をもっている．この2つの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ． Pのx座標をp，Pでない共有点のx座標をqとおくと， Pにおいて2曲線は接するので． 根と係数の関係より．これより． 求める面積は ．

• 大学入試数学過去問 - k95s6

  https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/195.html

  深さhの容器がある．底は半径a( 0)の円板，側面はx=f(y),0≦y≦hのグラフをy軸のまわりに回転したものである．ただしf(y)は正の連続関数でf(0)=aとする．この容器に単位時間当りV（一定）の割合で水を入れたとき，T時間後に一杯になり，しかもt( T)時間後の水面の面積はであった． 関数f(y)を決定し，Tを求めよ． 水面の高さがyになる時間をt(y)とおく．t(0)=0，t(h)=Tである． 水面の高さがyになったときに入っている水の量を考えると． 両辺yで微分してVで割るとであるから，これを解いて(C 積分定数)． t(0)=0より． 高さyのときの水面の面積はであるから より． また，．

• 大学入試数学過去問 - k93ks5

  https://w.atwiki.jp/mathkako/pages/177.html

  n≧3とする．1,2,…,nのうちから重複を許して6個の数字をえらびそれらを並べた順列を考える．このような順列のうちで，どの数字もそれ以外の5つの数字のどれかに等しくなっているようなものの個数を求めよ． 同じ数字の個数で分類する． (i)6個が全て同じ数字のとき 数字の選び方がn通りあり，並べ方は1通りなのでn個 (ii)4個が全て同じ数字で，残り2個が(4個とは異なる)同じ数字のとき 数字の選び方はn(n-1)通りあり，並べ方は通りなので15n(n-1)個． (iii)3個が全て同じ数字で，残り3個が(前の3個とは異なる)同じ数字のとき 数字の選び方は通りあり，並べ方は通りなので10n(n-1)個． (iv)3組の相異なる同じ数字の組となるとき 数字の選び方は通りあり，並べ方は通りなので15n(n-1)(n-2)個． (i)-(iv)を足して個．